NAMA : HANI HANIFAH

KELAS : B

MATEMATIKA DISKRIT

Penerapan Permutasi dan Kombinasi pada ilmu komputer

#   permutasi adalah susunan atau urutan-urutan yang berbeda satu sama lain yang terbentuk dari sebagian atau seluruh objek.

#   kombinasi adalah kumpulan sebagian atau seluruh objek tanpa memperhatikan urutannya.

#   Keterbatasan komputer dapat diatasi dengan permutasi dan kombinasi,sedangkan persoalan permutasi dan kombinasi dapat di komputerisasi layaknya menghitung banyaknya pasir dalam timbangan.

Permutasi dan Kombinasi dapat mencari persamaan logika yang rasional yang dapat diterjemahkan ke dalam komputer melalui bahasa pemrograman.

Komputer dapat melakukan perhitungan logika rasional matematis secara cepat dan tepat.

Secara umum matematika mendasari lahirnya ilmu komputer atau teknologi informasi dan komputer mempermudah dalam pengerjaan dan pemahaman ilmu matematika.jadi penerapan permutasi dan kombinasi dalam teknologi informasi dan komunikasi sungguh sangat besar, bahkan keduanya bisa saling timbal balik dan saling menguntungkan.

SOAL DAN PEMBAHASAN MATERI PERMUTASI DAN KOMBINASI

MATEMATIKA DISKRIT

1)   Dari 10 finalis lomba AFI akan dipilih juara l, ll, lll. Banyaknya kemungkinan susunan terpilihnya sebagai juara adalah?

Pembahasan :

10 finalis akan dipilih juara l, ll, lll.

P_(10,3) = 10!/7!

            =720

2)   Sebuah kompetisi sepak bola Eropa “EURO” diikuti oleh 6 negara. Pada babak awal setiap negara harus bertanding satu sama lain. Banyaknya pertandingan pada babak awal adalah?

Pembahasan :

Banyaknya pertandingan babak awal

C_(6,2) = 6!/4!2!

                        = 15

3)   Berapa banyak String yang dapat dibentuk yang terdiri dari 8 huruf berbeda dan diikuti dengan 4 angka yang berbeda pula ?

Pembahasan :

            P_(8-4) = 8!/(8-4)!

             =  8!/4!

             =  8.7.6.5.4!/4!

             = 8 x 7 x 6 x 5

                     =1680

Jadi banyaknya String 8 dari 4 huruf yang berbeda adalah 1680.

4)   Terdapat tiga orang (g,h dan i) yang akan duduk bersama di sebuah bangku. Ada berapa urutan yang dapat terjadi ?
Pembahasan :
nPx = n!
3P3 = 3!
       = 1 x 2 x 3
       = 6 cara (ghi, gih, hgi, hig, ihg, igh).

5)   Peluang lulusan STMIK dapat bekerja pada suatu perusahaan adalah 0,75. Jika seorang lulusan STMIK mendaftarkan pada 12 perusahaan, maka berapakah dia dapat diterima oleh perusahaan?
Pembahasan :
Frekuensi harapan kejadian A adalah Fh(A) = n × P(A)
Diketahui P(A) = 0,75 dan n = 12. Maka:
Fh(A) = 12 × 0,75 = 9 perusahaan.

6)   Dalam mengadakan suatu pemilihan dengan menggunakan obyek 4 orang pedagang pasar untuk didata, maka untuk memilih 3 orang untuk satu kelompok. Ada berapa cara kita dapat menyusunnya?
Pembahasan :
4C3 = 4!/3! (4-3)!
        =  (4.3.2.1)/3.2.1
        = 24/6

    = 4 cara

7)   Sebuah perusahaan indomie membutuhkan pegawai yang terdiri dari 5 putra dan 8 putri. Jika terdapat 4 pendaftar, 2 diantaranya putra. Tentukan banyaknya cara menyeleksi karyawan!
Pembahasan :
pendaftar putra = 2 dan pendaftar  putri  = 2 banyak cara menyeleksi:
5C2 x 8C2 =  (5!/2! X (5-2) x (8!/2! X (8-2)

                                = (5!/2! X 3!) x (8!/2! X 6)

                                    = 1120

8). Mahasiswa  di minta mengerjakan 9 dari 10 soal UTS , tetapi soal 1-5 harus di kerjakan. Banyaknya pilihan yang dapat diambil mahasiswa adalah.
Pembahasan:
5C4 = 5!/4! (5-4)!

                 = (5 X 4!)/4!1!

                 = 5

9). Seorang peternak kambing akan membeli 3 kambing betina dan 2 ekor kambing jantan dari seorang pedagang yang memiliki 6 kambing betina dan 4 kambing jantan. Dengan berapa cara peternak tersebut dapat memilih ternak-ternak yang di inginkannya?
Pembahasan :
kambing betina = 6C3 = 6!/3!(6-3)! = 6!/3!3! = 20 cara
kambing jantan = 4C2 = 4!/2!(4-2)! = (4×3×2!)/2!2! = 6 cara
Jadi, peternak tersebut memiliki pilihan sebanyak = 20×6 = 120 cara

10). Dalam sebuah ujian, seorang mahasiswa diwajibkan mengerjakan 5 soal dari 8 soal yg tersedia. Tentukan:
a. Soal yang kemungkinan dikerjakan
b. Pilihan soal yang mungkin dikerjakan  jika no.6 dan 7 wajib dikerjakan.
Pembahasan :
a. 8 C5 = 8!/5!(8-5)! = (8×7×6×5!)/5!3! = 56 cara
b. 6C3 = 6!/3!(6-2)! = (6×5×4×3!)/3!3! = 20 cara

TUGAS MATDIS

HANI HANIFAH

KELAS B

SOAL GENAP

 

 

NAMA : HANI HANIFAH

KELAS :B

TUGAS :PERSAMAAN DIFERENSIAL

Persamaan diferensial adalah persamaan matematika yang memepelajari fungsi yang tidak diketahui nilai dari satu atau beberapa variabel yang saling berhubungan, nilai-nilai fungsi itu sendiri dan turunannya dari berbagai operasi matematika. Persamaan diferensial memainkan peran penting dalam aplikasi matematika pada bidang teknik, fisika, ekonomi, dan disiplin lainnya.Persamaan diferensial kerap muncul dalam banyak bidang ilmu pengetahuan dan teknologi, khususnya setiap kali terdapat hubungan deterministik yang melibatkan beberapa elemen yang terus menerus bervariasi (dapat dibuat model matematika dengan menggunakan fungsi) dan tingkat perubahan elemen-elemen tersebut dalam ruang dan / atau waktu (dinyatakan sebagai turunan) . Hal ini kerap diilustrasikan dalam mekanika klasik, di mana gerakan digambarkan oleh posisi dan kecepatan yang dipengaruhi oleh waktu. Hukum Newton memungkinkan seseorang (mengingat posisi, kecepatan, percepatan dan berbagai kekuatan bertindak pada tubuh) untuk menyatakan variabel-variabel dinamis sebagai persamaan diferensial untuk posisi yang tidak diketahui tubuh sebagai fungsi waktu. Dalam beberapa kasus, persamaan diferensial (disebut persamaan gerak) dapat dipecahkan secara eksplisit.

Persamaan duferensial diklasifikasikan sebagai:

1.  Menurut jenis atau tipe: ada persamaan diferensial  biasa dan

persamaan diferensial  parsial. Jenis yang kedua tidak kita

pelajari di buku ini, karena kita hanya meninjau fungsi dengan

satu peubah bebas.

2.  Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi

turunan fungsi yang ada dalam persamaan. d³y/dx³ adalah orde

tiga d²y/dx² adalah orde dua dy/dx adalah orde satu.

3.   Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial adalah

pangkat tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi.

Sebagai contoh: ( d³y/dx³⁾² + ( d²y / dx²)⁵ + y/x²⁺¹ =e^x adalah persamaan

diferensial biasa, orde tiga, derajat dua.

Dalam buku ini kita hanya akan membahas persamaan diferensial biasa,

orde satu dan orde dua, derajat satu.

Suatu fungsi  y =  f(x) dikatakan merupakan solusi suatu persamaan

diferensial jika persamaan tersebut tetap terpenuhi dengan digantikannya

y dan turunannya dalam persamaan tersebut oleh   f(x) dan turunannya.

Kita ambil satu contoh:

y=ke^-x adalah solusi dari persamaan dy/dx + y=0 karena turunan

y=ke^-x adalah dy/dx = -ke^-x dan jika ini kita masukkan dalam

persamaan akan kita peroleh – ke^-x + ke^-x =0

Persamaan terpenuhi.

Pada contoh di atas kita lihat bahwa persamaan diferensial orde satu

mempunyai solusi yang melibatkan satu tetapan sembarang yaitu k. Pada

umumnya suatu persamaan orde  n akan memiliki solusi yang

mengandung n tetapan sembarang. Pada persamaan diferensial orde dua

yang akan kita bahas di bab berikutnya, kita akan menemukan solusi

dengan dua tetapan sembarang. Nilai dari tetapan ini ditentukan oleh

kondisi awal.

v  Persamaan Diferensial Linier Orde Satu

Dalam persamaan diferensial linier, semua suku berderajat satu atau nol.

Dalam menentukan derajat ini kita harus memperhitungkan pangkat dari

peubah dan turunannya; misal  y(dy/dx) adalah berderajat dua karena  y

dan  dy/dx masing-masing berpangkat satu dan harus kita jumlahkan

untuk menentukan derajat dari y(dy/dx).  

Persamaan diferensial orde satu yang juga linier dapat kita tuliskan

dalam bentuk

                              dy / dx +py = Q

Solusi Homogen menyatakan bahwa  y  ditambah

dengan suatu koefisien konstan kali dy/dt, sama dengan nol untuk semua

nilai  t. Hal ini hanya mungkin terjadi jika  y dan dy/dt berbentuk sama.

Fungsi yang turunannya mempunyai bentuk sama dengan fungsi itu

sendiri adalah fungsi eksponensial. Jadi kita dapat menduga bahwa solusi

dari (4.8) mempunyai bentuk eksponensial  y = K₁e^st

Contoh aplikasi matematika menggunakan persamaan diferensial adalah penentuan kecepatan bola jatuh melalui udara, jika variabel yang digunakan hanya gravitasi dan hambatan udara. Percepatan bola ke arah tanah dihiung dari percepatan gravitasi dikurangi perlambatan karena hambatan udara. Diasumsikan gravitasi dianggap konstan, dan hambatan udara dapat dimodelkan sebagai berbanding lurus dengan kecepatan bola. Hal ini mengindikasikan percepatan bola, yang merupakan turunan dari fungsi kecepatannya, yang tergantung pada kecepatan. Mencari kecepatan sebagai fungsi atas waktu membutuhkan pemecahan sebuah persamaan diferensial.

Persamaan diferensial secara matematis dipelajari dari perspektif yang beranekaragam, sebagian besar mereka peduli dengan solusi-himpunan fungsi yang memenuhi persamaan (tujuannya hanya berupa perkembangan ilmu). Hanya persamaan diferensial sederhana umumnya mendapatkan hasi formula sebuah formula eksplisit. Namun, beberapa sifat-sifat dari solusi dari persamaan diferensial yang diberikan dapat ditentukan tanpa menemukan solusi yang tepat dari pemecahan persamaan diferensial tersebut. Jika   solusi analitik tidak dapat ditemukan, solusi dapat diestimasi secara numerik menggunakan komputer. Teori sistem dinamik menekankan pada analisis kualitatif sistem dijelaskan oleh persamaan diferensial, sementara metode numerik yang telah dikembangkan untuk menentukan solusi dengan tingkat galat tertentu.