NAMA
: HANI HANIFAH
KELAS
:B
TUGAS
:PERSAMAAN DIFERENSIAL
Persamaan
diferensial adalah persamaan matematika yang memepelajari fungsi yang tidak
diketahui nilai dari satu atau beberapa variabel yang saling berhubungan,
nilai-nilai fungsi itu sendiri dan turunannya dari berbagai operasi
matematika. Persamaan diferensial memainkan peran penting dalam aplikasi matematika
pada bidang teknik, fisika, ekonomi, dan disiplin lainnya.Persamaan diferensial
kerap muncul dalam banyak bidang ilmu pengetahuan dan teknologi, khususnya
setiap kali terdapat hubungan deterministik yang melibatkan beberapa elemen
yang terus menerus bervariasi (dapat dibuat model matematika dengan menggunakan fungsi)
dan tingkat perubahan elemen-elemen tersebut dalam ruang dan / atau waktu
(dinyatakan sebagai turunan) . Hal ini kerap diilustrasikan dalam mekanika
klasik, di mana gerakan digambarkan oleh posisi dan kecepatan yang dipengaruhi
oleh waktu. Hukum Newton memungkinkan seseorang (mengingat posisi, kecepatan,
percepatan dan berbagai kekuatan bertindak pada tubuh) untuk menyatakan
variabel-variabel dinamis sebagai persamaan diferensial untuk posisi yang tidak
diketahui tubuh sebagai fungsi waktu. Dalam beberapa kasus, persamaan
diferensial (disebut persamaan gerak) dapat dipecahkan secara eksplisit.
Persamaan
duferensial diklasifikasikan sebagai:
1. Menurut jenis atau tipe: ada persamaan
diferensial biasa dan
persamaan
diferensial parsial. Jenis yang kedua
tidak kita
pelajari
di buku ini, karena kita hanya meninjau fungsi dengan
satu
peubah bebas.
2. Menurut orde: orde persamaan diferensial
adalah orde tertinggi
turunan
fungsi yang ada dalam persamaan.
d3y/dx3
adalah orde
tiga
d2y/dx2 adalah orde dua dy/dx adalah orde satu.
3. Menurut derajat: derajat suatu persamaan
diferensial adalah
pangkat
tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi.
Sebagai
contoh: ( d3y/dx3)2 + ( d2y / dx2)5
+ y/x2+1 =ex adalah persamaan
diferensial
biasa, orde tiga, derajat dua.
Dalam
buku ini kita hanya akan membahas persamaan diferensial biasa,
orde
satu dan orde dua, derajat satu.
Suatu
fungsi y = f(x) dikatakan merupakan solusi suatu
persamaan
diferensial
jika persamaan tersebut tetap terpenuhi dengan digantikannya
y
dan turunannya dalam persamaan tersebut oleh
f(x) dan turunannya.
Kita
ambil satu contoh:
y=ke-x
adalah solusi dari persamaan dy/dx + y=0 karena turunan
y=ke-x
adalah dy/dx = -ke-x dan jika ini kita masukkan dalam
persamaan
akan kita peroleh – ke-x + ke-x =0
Persamaan
terpenuhi.
Pada
contoh di atas kita lihat bahwa persamaan diferensial orde satu
mempunyai
solusi yang melibatkan satu tetapan sembarang yaitu k. Pada
umumnya
suatu persamaan orde n akan memiliki
solusi yang
mengandung
n tetapan sembarang. Pada persamaan diferensial orde dua
yang
akan kita bahas di bab berikutnya, kita akan menemukan solusi
dengan
dua tetapan sembarang. Nilai dari tetapan ini ditentukan oleh
kondisi
awal.
v Persamaan
Diferensial Linier Orde Satu
Dalam
persamaan diferensial linier, semua suku berderajat satu atau nol.
Dalam
menentukan derajat ini kita harus memperhitungkan pangkat dari
peubah
dan turunannya; misal y(dy/dx) adalah
berderajat dua karena y
dan dy/dx masing-masing berpangkat satu dan harus
kita jumlahkan
untuk
menentukan derajat dari y(dy/dx).
Persamaan
diferensial orde satu yang juga linier dapat kita tuliskan
dalam
bentuk
dy / dx +py = Q
Solusi
Homogen menyatakan bahwa y ditambah
dengan
suatu koefisien konstan kali dy/dt, sama dengan nol untuk semua
nilai t. Hal ini hanya mungkin terjadi jika y dan dy/dt berbentuk sama.
Fungsi
yang turunannya mempunyai bentuk sama dengan fungsi itu
sendiri
adalah fungsi eksponensial. Jadi kita dapat menduga bahwa solusi
dari
(4.8) mempunyai bentuk eksponensial y =
K1est
Contoh
aplikasi matematika menggunakan persamaan diferensial
adalah penentuan kecepatan bola jatuh melalui udara, jika variabel yang
digunakan hanya gravitasi dan hambatan udara. Percepatan bola ke arah
tanah dihiung dari percepatan gravitasi dikurangi perlambatan karena hambatan
udara. Diasumsikan gravitasi dianggap konstan, dan hambatan udara dapat
dimodelkan sebagai berbanding lurus dengan kecepatan bola. Hal ini
mengindikasikan percepatan bola, yang merupakan turunan dari fungsi
kecepatannya, yang tergantung pada kecepatan. Mencari kecepatan sebagai
fungsi atas waktu membutuhkan pemecahan sebuah persamaan diferensial.
Persamaan
diferensial secara matematis dipelajari dari perspektif yang beranekaragam,
sebagian besar mereka peduli dengan solusi-himpunan fungsi yang memenuhi
persamaan (tujuannya hanya berupa perkembangan ilmu). Hanya persamaan
diferensial sederhana umumnya mendapatkan hasi formula sebuah formula
eksplisit. Namun, beberapa sifat-sifat dari solusi dari persamaan diferensial
yang diberikan dapat ditentukan tanpa menemukan solusi yang tepat dari
pemecahan persamaan diferensial tersebut. Jika solusi analitik
tidak dapat ditemukan, solusi dapat diestimasi secara numerik menggunakan
komputer. Teori sistem dinamik menekankan pada analisis kualitatif sistem
dijelaskan oleh persamaan diferensial, sementara metode numerik yang telah
dikembangkan untuk menentukan solusi dengan tingkat galat tertentu.